音律の求め方と完全音程と音程の転回で長短変わる理由の解説
昨日の音楽理論講義で完全音程と音の転回時に長短が変わる理由について質問を受けましたので詳細に回答します。
完全音程は協和しているから、、、
音は転回した場合、そのその２音を足して９になり、長短逆になる、、、
ではその理由は？
何か明確な法則があるのでは？
そこを解説してくれとの要望に応えます。
＜完全音程定義＞
2音間の振動数比が単純な整数比で，協和度の高い音程
完全1度，完全4度，完全5度，完全8度などがある
Cを基準にすれば
CとC 完全１度（同音）
CとF 完全４度
CとG 完全５度
CとC 完全８度（オクターブ上）
となります。
（上記の音程は、“全音階的音程”の中の“協和音程”の中の“完全共和音程”に分類される）
さらに詳細に解説するために音律の求め方を純正律で解説します。
音律の求め方を純正律で解説
純正律とは
周波数の比が単純な整数比である純正音程のみを用いて規定される音律（下図を参照）（純正律は１２平均律の基となっています）
純正律の音階表
| 音階名 | C | D | E | F | G | A | B | C |
| 周波数 | 1/1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 15/8 | 2/1 |
| セント | 0 | 204 | 386 | 498 | 702 | 884 | 1088 | 1200 |
音階が１オクターブ上がると周波数は２倍、逆に１オクターブ下がれば1/2となります。
純正律の音階の決め方は倍音から計算式で求められています。
以下は倍音の表、第５倍音までです
| 倍音 | 音程 | 音名 |
| 第1倍音 | ユニゾン | C3 |
| 第2倍音 | 1オクターブ | C4 |
| 第3倍音 | 1オクターブと完全5度 | G4 |
| 第4倍音 | 2オクターブ | C5 |
| 第5倍音 | 2オクターブと長3度 | E5 |
この後理論上は終わりなく続きます。
倍音が倍になると周波数が倍になります。
最初に基音（今回はC）以外の音階が現れるのは第３倍音でオクターブ上のGです。
オクターブ外にあるため、１オクターブ下げます。
3/1 x 1/2
で3/2です。
これがオクターブ内にあるGの音（５度上）となります。
次に５度下も見てみましょう。
基音：五度下の音＝ 3/2 : 1 ＝ 1 : 2/3
ですので５度下の音は基音の2/3倍、基音と同じオクターブ内に持って来るために倍にすると
2/3 x 2
で4/3になります。
この音が第４音Fの音になります。
次に基音以外の音が現れるのは第５倍音です。
２オクターブ上ですので1/4にします。
5 x 1/4
で5/4です。
これが第３音 E になります。
あとは組み合わせて残りのオクターブ内の音を導きます。
第５音の三度上が第７音B
第７音＝ 3/2 × 5/4 ＝ 15/8
第４音の三度上が第６音 A
第６音＝ 4/3 × 5/4 ＝ 5/3
第５音の五度上を１オクターブ下げて第２音 D
第２音＝ 3/2 × 3/2 × 1/2 ＝9/8
以上で７音が出揃いました。
| 音階名 | C | D | E | F | G | A | B | C |
| 周波数 | 1/1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 15/8 | 2/1 |
ではこの純正律の解説を踏まえて完全音程についてです。
完全音程とは
音は、同時に鳴った際に周波数比が小さな数でシンプルな比率の方が、協和性が高いと言えます。
上述の図にある通り、Cに対し基音C（１度）とオクターブ上のC（8度）の次に、FとG（第４音と、第5音）が4/3、3/2ともっともシンプルな比率となっています。
これらの音程はもっとも協和していると言えるでしょう。
この４音を完全音程（完全協和音程）と言います。
より明確に確認するために周波数を図にして見てみましょう。
まずは基音と１オクターブ上の音から
基音と同じ音（完全１度＝同音）が周波数が同じになるのは当然として、オクターブ上の周波数も協和します。
１番下の波形が２つの音（基音とオクターブ上）を合わせた音です。
短い周期、かつ一定の周期で並んでいるため、音が協和している状態、完全協和音程の状態です。
次が残りの完全音程（完全協和音程）の2音
５度上と４度上です。
５度上
４度上
同じくそれぞれ１番下の重なった波形。
先ほどの基音＋オクターブ上よりは周期が長くはなりますが、規則性があり協和している事が確認できます。
５度の方が４度よりも周期が短い＝より協和している事も確認していただけるでしょう。
ここまでが完全音程です。
（ちなみに黄色の線は差音と言います。
差音については（説明がさらに長くなりますので）また次の機会に解説させていただきます。）
では、他の音はどうなのでしょうか？
３度上です。
完全協和音程の５度、４度に比較すると、周期が長く、協和度が低い事が確認できます。
６度上です
３度よりも周期が短く協和していると言えます。
しかし完全協和音程ではありません。
以上３度、６度に加えそれぞれを転回した際にできる（転回は後に解説）短３度、短６度の４音を不完全協和音程と呼びます。
短３度
短６度
残りの２度上と７度上です。
この２音は不協和音と呼ばれます。
２度上
かなり周期が長く協和はしていない感じが見て取れますね。
次は
７度上です
こちらも周期は長く、形はより複雑です。
以上の事から１度、４度、５度、８度は協和している音程で完全音程と呼ばれる事が確認できました。
次に音の転回の話です。
音の転回の解説
何故、転回すると長短変わるのか？
同時に完全音程が転回しても長短変わらない＝完全である。についても解説します。
先ほど、音階の決め方の解説をしましたが、４度を決めるときに５度下の音程を基に決めていました。
次の表を見てください。
| 度数名 | 1 | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ |
| 周波数 | 1/1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 15/8 | 2/1 |
| オクターブ下に転回 | 1/1 | 8/9 | 4/5 | 3/4 | 2/3 | 3/5 | 8/15 | 1/2 |
| 度数名 | 1 | 7b | 6b | 5 | 4 | 3b | 2b | 1 |
| オクターブ上げて周波数を調べる | 1 | 16/9 | 8/5 | 3/2 | 4/3 | 6/5 | 16/15 | 1 |
オクターブ下になった音をそれぞれオクターブ上にあげて同じオクターブ内の音階にします。
すると、完全音程である、１度、４度、５度、８度以外の音程（度数）は元の純正律にあった７音の中にありません。
逆にいうと、１度、４度、５度、８度は転回しても７音の音階に含まれている。
逆からみてもなくならずしっかりと残る。やはりここでも完全に存在する＝完全音程と言える事がわかります。
２度下、３度下、６度下、７度下の音程は、オクターブ上に上げると、それぞれの対応する（２度は７度、３度は６度）短音程を構成する事となり１２音階が出来上がります。
転回する事で長短が変わる事が確認できました。
ちなみにこれが１２音
これを転回させると下図でわかる通り、５、６、７は長短変わらず（つまり完全音程）１〜４半音程は奇数が短音程から長音程、偶数が長音程から短音程、８〜１１は奇数が長音程から短音程、偶数が短音程から長音程へと変化します。
なお転回した音程は度数を足すと９になり長短入れ替わるとともに、半音数の合計は１２となります。
例：短２度の転回形は長７度＝足すと度数は９、長短は入れ替わり。短２度は１半音、長７度は１１半音で足すと１２半音。
なお、純正律は、１２平均律（今の機能和声）の基となりましたが、周波数は少々異なります。
１２平均律は純正な周波数にはなっていないため、実はそもそも完全な協和音程とはなってはいません。
その事も知識として覚えておいていただければと思います。
| 音階名 | C | D | E | F | G | A | B | C |
| 純正律の周波数 | 1/1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 15/8 | 2/1 |
| 純正律の周波数を数字 | 1 | 1.125 | 1.250 | 1.333 | 1.5 | 1.666 | 1.875 | 2 |
| 平均律周波数を数字で | 1 | 1.122 | 1.260 | 1.355 | 1.498 | 1682 | 1.888 | 2 |
| 純正律との差 | 0 | 0.003 | 0.010 | 0.002 | 0.002 | 0.016 | 0.013 | 0 |
完全音程１、８度では差はなく、４、５度においても差はわずかである事が確認できます。